湿度計方程式

ガーゼを通過した気体は、蒸発に伴う 潜熱を奪われるため温度が $T_{d}$ から$T_{w}$ に下がる。温度低下に伴う空 気の単位体積当たりのエネルギーは、等圧変化とみなせるので、

$$\rho_{d} C_{p}(T_{d}-T_{w})$$ (25)

と書ける。ここで$\rho_{d}$は乾燥空気の質量密度である。一方、単位質量の水 が水蒸気として蒸発する際に奪う熱量 $L=2.50\times 10^{6}$ [J kg$^{-1}$]を 用いると、単位体積当たりに奪う熱量は

$$(\rho_{v,s}-\rho_{v})L$$ (26)

となる。ここで $\rho_{v}, \rho_{v,s}$は、それぞれ水蒸気の質量密度、飽和水 蒸気の質量密度である(つまり、ガーゼを通って飽和した水蒸気が、蒸発して周 囲の蒸気圧になるまでに奪う熱量を求めたことになる)。これらは等しい筈なの で、

$$(\rho_{v,s}-\rho_{v})L=\rho_{d} C_{p}(T_{d}-T_{w})$$ (27)

という等式が成り立たねばならない。

一方、乾燥空気と水蒸気の混合気体の圧力を$P$とし、水蒸気の分圧を$e$とする と、それぞれが理想気体の状態方程式に従うので、

$$e = \rho_{v}R_{v}T$$ (28)

$$P-e = \rho_{d}R_{d}T$$ (29)

である。ここで気体定数の定義に戻って考えると、

$$\frac{R_{d}}{R_{v}}=\frac{M_{v}}{M_{d}}\equiv\varepsilon=0.622$$ (30)

となることがわかる。二つの状態方程式の比を取ると、

$$\frac{e}{P-e}=\frac{\rho_{v}}{\rho_{d}}\frac{R_{v}}{R_{d}}=\frac{1}{\varepsilon}\frac{\rho_{v}}{\rho_{d}}$$ (31)

であるが、$e/P<0.04$であるので、左辺の分母は$P-e\simeq P$と近似して構わ ない。よって、

$$\frac{e}{P}=\frac{1}{\varepsilon}\frac{\rho_{v}}{\rho_{d}}$$ (32)

となる。同様に、飽和水蒸気の分圧を$e_{s}$とすると、

$$\frac{e_{s}}{P}=\frac{1}{\varepsilon}\frac{\rho_{v,s}}{\rho_{d}}$$ (33)

となる。

これを式(27)に代入すると、

$$e=e_{s}-\frac{C_{p}}{\varepsilon L}P(T_{d}-T_{w})=\frac{C_{p}}{\varepsilon L}P(t_{d}-t_{w})$$ (34)

となる。なお、最後の等式は、温度を絶対温度$T$から摂氏$t$への変形であるが、 基準点の変更は差を取っているのでキャンセルする。

実際の測定では、ガーゼからの水の蒸発に伴う湿度の上昇による誤差やガーゼ自 体の汚れ、測定者による温度上昇、水の純度、等々、様々な誤差要因がある。そ こで、上の式を

$$e=e_{s}-AP(t_{d}-t_{w})$$ (35)

と一般化し、実験により$A$を求めている(湿度計方程式、乾湿計公式、あるいは Sprungの式)。JIS規格では湿球が氷結していない時は $A=6.62\times 10^{-4}$ K$^{-1}$となっており、理論式とは若干ズレている。ただし、国際的には$A$の 値はまだ確定していない[6]。

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