平衡曲線

次に、クラウジウス-クラペイロンの式を使って、平衡状態で($P,T$)を変化させ た曲線、すなわち平衡曲線を求める。

単位質量当たり水の占める体積$v_{l}$は、明らかに水蒸気の体積$v_{v}$に比べ てずっと小さい( $v_{v}\gg v_{l}$)。従って、 $v_{v}-v_{l}\simeq v_{v}$と近 似でき、これより

$$de_{s}=\frac{L}{T v_{v}}dT$$ (51)

となる。さらに水蒸気の状態方程式

$$e_{s} v_{v}=R_{v}T$$ (52)

を使うと、

$$\frac{de_{s}}{e_{s}}=\frac{L}{R_{v}}\frac{dT}{T^{2}}$$ (53)

となる。

潜熱$L$の温度依存性は無視できるので、これを積分すると、

$$\ln e_{s}=-\frac{L}{R_{v}}\frac{1}{T}+C$$ (54)

($C$は積分定数)となり、さらに変形して

$$e_{s}=C'\exp\left(-\frac{L}{R_{v}T}\right)$$ (55)

を得る。

ここで$t=0^{\circ }$C, すなわち$T=273.15$Kの時の飽和水蒸気圧は 6.11 hPa であることが実験により測定されている。従って、

$$6.11 {\rm hPa} = C' \exp\left(-\frac{L}{R_{v}273.15{\rm K}}\right)$$ (56)

より

$$C'= 6.11 hPa \times\exp\left(\frac{L}{R_{v}273.15{\rm K}}\right)$$ (57)

つまり、

$$e_{s}=6.11 {\rm hPa}\times\exp\left(-\frac{L}{R_{v}}\left[\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{0}}\right]\right)$$ (58)

となる。ここで$T_{0}=273.15$Kである。

図 5: 温度の関数としての飽和水蒸気圧。実験値は、$t=0^{\circ }$Cで 6.11 hPa, 100$^{\circ }$C で 1013.25 hPa である。

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