数学的準備

• 微分とは何か
• 微分の意味

(例)

1. $f(x)=C$ (定数)
   $\to f'(x)=0$, 接線の傾きはゼロ

2. $f(x)=ax$
   $\to f'(x)=a$

3. $f(x)=ax^2$
   $\to f'(x)=2ax$
   $\setlength{\unitlength}{1pt} \thinlines \begin{picture}(12,12)% \put(0,3){$\c... ...e{14}} \end{picture} f(x+\Delta x)=a(x+\Delta x)^2=a(x^2+2x\Delta x+\Delta x^2)$
   $\simeq ax^2+2ax\Delta x=f(x)+2ax\Delta x\Rightarrow f'(x)=2ax$

4. $f(x)=ax^n$
   $\to f'(x)=nax^{n-1}$

5. $f(x)=e^x$
   $\to f'(x)=e^x$
   $f(x)=e^{ax} \to f'(x)=\frac{\d }{\d x}e^{ax}=a\frac{\d }{\d (ax)}e^{ax}$, $y=ax$とおくと、
   $=a\frac{\d }{\d y}e^y=ae^y=ae^{ax}$

6. $f(x)=\ln x$
   $\to f'(x)=1/x$
   $\ln x\equiv\log_{e}x$: 自然対数
   $\log x\equiv\log_{10}x$: 常用対数

・位置ベクトルとベクトルの微分

位置ベクトル： ${\mbox{\boldmath$x$}}$や${\r }$などで表す。次元[L]。${\r }=(x,y,z)$(3次元の場合)

速度(velocity): ${\v }=\frac{\d {\mbox{\boldmath$x$}}}{\d t}\equiv\dot{\mbox{\boldmath$x$}}$
$\setlength{\unitlength}{1pt} \thinlines \begin{picture}(12,12)% \put(0,3){$\c... ...d{picture}   v\simeq\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{移動距離}{かかった時間} \to$次元[L/T]

加速度(acceleration): ${\mbox{\boldmath$a$}}=\frac{\d {\v }}{\d t}\equiv\dot{\v }$
$\setlength{\unitlength}{1pt} \thinlines \begin{picture}(12,12)% \put(0,3){$\c... ...\end{picture}   a\simeq\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{速度変化}{か かった時間}$
${\mbox{\boldmath$a$}}=\frac{\d }{\d t}{\v }=\frac{\d }{\d t}\left(\frac{\d {\mb... ...frac{\d ^2{\mbox{\boldmath$x$}}}{\d t^2}\simeq\frac{\Delta x}{(\Delta t)^2} \to$次元[L/T$^2$]

・座標系

• デカルト(直交座標)
  ${\mbox{\boldmath$x$}}=(x,y), (x,y,z)$

• (平面)極座標
  ${\mbox{\boldmath$x$}}=(r,\theta)=re^{i\theta}=r\cos\theta+ir\sin\theta$
  $(x,y)=(r\cos\theta, r\sin\theta)$

• 円筒座標
  ${\mbox{\boldmath$x$}}=(r,\theta,z)$

• 極座標
  ${\mbox{\boldmath$x$}}=(r,\theta,\phi)$
  $(x,y,z)=(r\sin\theta\cos\phi, r\sin\theta\sin\phi, r\cos\theta)$

・運動方程式
$m{\mbox{\boldmath$a$}}=F$  (質量$\times$加速度=力)
質量$m$の物体に力 ${\mbox{\boldmath$F$}}$が加わると、物体は加速度 $\mbox{\boldmath$a$}$で運動する

デカルト座標：

$$\left\{ \begin{array}{l} ma_x = F_x\\ ma_y = F_y \end{array}\right.$$

極座標：
${\r }=re^{i\theta}$とおく($x$方向：実数、$y$方向：虚数)

$$\dot{\r }=\dot{r}e^{i\theta}+r\frac{\d }{\d t}e^{i\theta}=\dot{r}e^{i\theta}+ir\dot{\theta}e^{i\theta}$$

$$\ddot{\r }=\ddot{r}e^{i\theta}+i\dot{r}\dot{\theta}e^{i\thet... ...)e^{i\theta}+i(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})e^{i\theta}$$

ここで、

$$i=e^{i\frac{\pi}{2}}$$

に注意すると、

$$i\hat{\r }=e^{i\frac{\pi}{2}}\times e^{i\theta}=e^{i\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}$$

つまり、$\pi/2$(=90$^o$)ずれた方向(垂直)。

結局、
動径方向の加速度： $a_r=\ddot{r}-r\dot{\theta}^2$
角度方向の加速度： $a_\theta=2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}$
従って、運動方程式は、

$$\left\{ \begin{array}{l} ma_r=m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2) = ... ...{r}\dot{\theta+r\ddot{\theta}}) = F_\theta \end{array}\right.$$

となる。

・万有引力の場合

互いを結ぶ線分の方向にのみ力が働く $\to F_\theta=0$

$$\setlength{\unitlength}{1pt} \thinlines \begin{picture}(1... ...}} \end{picture}  m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)=-\frac{GMm}{a^2}$$

いま、$M\gg m$とすると、

$$m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)=-\frac{GMm}{r^2}$$

とおいてよい($a\simeq r$)。これを、

$$m\ddot{r}=-\frac{GMm}{r^2}+mr\dot{\theta}^2$$

と変形する。半径($r$)一定の運動の場合は$\ddot{r}=0$であるので、

$$mr\dot{\theta}^2 = \frac{GMm}{r^2},  すなわち   \fbox{遠心力=万有引力}$$

となる。なお、しばしば $\omega=\dot{\theta}$と書く。