放射(輻射)

「黒体」(black body)…入射放射を完全に吸収する
        →その温度で最大のエネルギーを放射

単位面積、単位時間、単位振動数(単位波長)当たりに放出するエネルギー：

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle{ B_\nu(T)\d\nu=\frac{2\pi ... ...2\pi hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{hc/kT\lambda}-1}\d\lambda } \end{array}\right.$$ (2.1)

Figure: 黒体輻射。

積分すると、

$$I=\int B_\nu\d\nu=\int B_\lambda\d\lambda=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2 h^3}T^4\equiv\sigma T^4$$ (2.2)

⇒Stefan-Boltzmannの法則

$$\sigma\equiv\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2 h^3}=5.67\times 10^{-8}{\rm [W m^{-2} K^{-4}]}\qquad {\rm Stefan-Boltzmann定数}$$ (2.3)

最大強度となる波長$\lambda_m$:

$$\lambda_m=\frac{2897}{(T/{\rm K})}{\rm [\mu m]}\qquad {\rm Wien の変位則}$$ (2.4)

太陽…$T\simeq 6000$K → $\lambda_m\simeq 0.5\mu$m
人体、地表…$T\simeq 300$K → $\lambda_m\simeq 10\mu$m

Figure: 太陽光と地球の幾何学。

r6cm

全入射エネルギー=全放射エネルギー(放射平衡)のとき、

$$S(1-A)\pi a^2 = 4\pi a^2\sigma T_e^4$$ (2.5)

$$\qquad\left\{ \begin{array}{ll} S: & 太陽定数=1368{\rm [W m^{-2}]... ...: & 地球半径=6.4\times 10^6{\rm [m]}\\ T_e: & 放射平衡温度 \end{array}\right.$$

地球の場合、大気がないと、

$$T_e=\left[\frac{S(1-A)}{4\sigma}\right]^{1/4}=2.55\times 10^2{\rm [K]}$$ (2.6)

大気の温室効果→$T\simeq 288$[K]

●温室効果の簡単なモデル

Figure: 温室効果。

r7cm

・放射平衡

$$S(1-A)\pi a^2 = 4\pi a^2 I_E$$ (2.7)

$$\Rightarrow I_E = \frac{S}{4}(1-A) = 240 {\rm [W/m^2]}$$ (2.8)

(⇒入射光の単位時間・単位面積当たりに入ってくるエネルギーは$I_E$)

大気の熱収支(入射=放射)：

$$I_E + \sigma T_g^4 = 0.9I_E + 2\sigma T_a^4$$ (2.9)

地面の熱収支：

$$0.9I_E+\sigma T_a^4 = \sigma T_g^4$$ (2.10)

これらを連立させて解くと、

$$I_E = \sigma T_a^4  \to   T_a = 255 {\rm [K]}$$ (2.11)

$$\sigma T_g^4 = 1.9 I_E$$ (2.12)

ここから地表の温度は

$$T_g=1.9^{1/4}T_a = 299 {\rm [K]}$$ (2.13)

となる。実際には、

• 何層もある
• 上層大気が完全に吸収しない

ことを考慮する必要がある。