理想気体の状態方程式

圧力($p$)、温度($T$)、密度($\rho$)の関係

$$pV=mRT\qquad\ldots\qquad {\rm Equation  of  State  (EOS)}$$ (3.1)

$V$: 気体の体積

$m$: 気体の質量

$R$: 気体定数(気体の種類ごとに特有)

$\rho=m/V$より、

$$p=\rho RT$$ (3.2)

比容 $\alpha\equiv 1/\rho$ (単位質量当たりの体積; 気体1kgが占める体積 [m$^3$])を用いると、

$$p\alpha=RT$$ (3.3)

気体の量…キロモル(kmol)⇔分子数

$$n=\frac{m}{M}  {\rm [kmol]}\qquad \begin{array}{l} m: 質量{\rm [kg]}\\ M: 分子量{\rm [g/mol]=[kg/kmol]} \end{array}$$ (3.4)

1[kmol]当たりの分子数…アボガドロ数 $N_A=6.022\times 10^{26}$
(通常は1[mol]当たりの分子数、 $6.022\times 10^{23}$をアボガドロ数とするが、 気象学では1[kmol]当たりで定義する)

$${}\to pV=mRT=\frac{m}{M}MRT=nR^{*}T,\qquad R^* = MR$$ (3.5)

        $R^*$: 一般(普遍)気体定数 $=8314.3{\rm [J K^{-1} kmol^{-1}]}$…気 体に依らない
⇔アボガドロの仮説「同じ数の分子を含む気体は同じ温度・同じ圧力のもとでは 同じ体積を占める」

$$V=\frac{nR^* T}{p}$$ (3.6)

・乾燥空気の状態方程式
        

  混合気体

Daltonの法則…混合気体の圧力$p$は、分圧$p_i$の和に等しい

$$p=\sum_i p_i  \cdots{\rm 力の和に相当}$$ (3.7)

→本来圧力は粒子が壁に与える運動量変化に起因するため、粒子数に比例する。

$i$番目の気体の状態方程式

$$p_i V=m_i T\frac{R^*}{M_i}$$ (3.8)

$$\setlength{\unitlength}{1pt} \thinlines \begin{picture}(1... ...V}\frac{R^*}{M_i}\right] =\frac{TR^*}{V}\sum_i \frac{m_i}{M_i}$$ (3.9)

ここで、全質量は $\sum_i m_i \rightarrow \alpha=V/\sum_i m_i$

$${}\to p\alpha = \left[\frac{TR^*}{V}\sum_{i}\frac{m_i}{M_i}\right]\frac{V}{\sum_i m_i}$$

$$= R^* T\frac{\sum_i m_i/M_i}{\sum_i m_i}$$

$$\equiv \frac{R^* T}{\bar{M}}\qquad \bar{M}=\frac{\sum_i m_i}{\sum_i m_i/M_i}\quad{\rm :平均分子量}$$

$$\equiv \bar{R}T\qquad \bar{R}\quad{\rm :混合気体の気体定 数、}\bar{R}=\frac{R^*}{\bar{M}}$$ (3.10)

乾燥空気の$\bar{M}=M_{d}$

$$M_d=\frac{1}{\frac{0.755}{28}+\frac{0.231}{32}+\frac{0.013}{40}}=28.96$$ (3.11)

  N$_2$  

  O$_2$  

  Ar

$$R_d=\frac{R^*}{M_d}=\frac{8314.3 {\rm J/(K kmol)}}{28.96{\r... ...=287 {\rm [J K^{-1} kg^{-1}]\left(=[m^2 s^{-2} K^{-1}]\right)}$$ (3.12)

[

l]

(問題1,2は「一般気象学」より。答が載っていますが、どうしてその答になった かわかるようにまとめてください)

1. 金星の待機では容積比でCO$_2$が95%, N$_2$が5%を占めているとして、 金星大気の平均分子量および1[kg]の(単位質量当たりの)金星大気の気体 定数を求めよ。ただし、C, O, N の原子量はそれぞれ 12, 16, 14 とす る。
   

   (答)平均分子量：43.2、気体定数：192.5[J$\cdot$K$^{-1}\cdot$kg$^{-1}$]

2. 容積0.01[m$^3$]まで耐えられる気球に質量0.01[kg]の乾燥空気をつめて、 高度5[km]で放球したら気球は破裂するか。この高度の気圧は540[hPa]、 気温は-17[℃]とする。
   

   (答)このような問題で最も注意すべきことは、式のなかの物理量の単位 を正しくそろえることである。540[hPa]は540$\times 10^2$[Pa]であり、- 17[℃]は256[K]である。状態方程式より高度5[km]における気球の容積 $V$は
   

   $$V=\frac{m R_{d}T}{p}=\frac{0.01\times 287\times 256}{5.4\times 10^4}=0.0136[{\rm m}^2]$$ (3.13)

   
   
   したがって気球は破裂する。

3. 1気圧(1013[hPa])下でこの気球に空気をつめていく。気球が破裂すると きの空気の質量を求めよ。温度は15[℃]とする。