静水圧(静力学)平衡

静止した大気(圧力と重力が釣り合っている)を考える。

l10cm

 
 
$m=\rho V=\rho S\Delta z$
$\Delta p<0$
 

釣り合いで考えると

$$pS=(p+\Delta p)S+\rho S\Delta z g$$ (3.14)

$${}\to \Delta p=-\rho g\Delta z$$ (3.15)

運動方程式で考えると

$$ma = pS-\left[(p+\Delta p)S+mg\right]\qquad{\rm 上向きを正}$$

$$= S\left[-\Delta p-\rho g\Delta z\right]$$

$$= 0\qquad{\rm 静止している→加速度ゼロ}$$ (3.16)

$${}\Longrightarrow\frac{\Delta p}{\Delta z}=-\rho g\Longrightarrow\frac{\d p}{\d z}=-\rho g \qquad{\rm\fbox{\gt 静水圧平衡}}$$ (3.17)

$$\qquad\left[ \begin{array}{l} \frac{ma}{S}=\underline{-\Delta p}-... ...ho を小さいものに置きかえると、\\ 上向き加速度が発生→浮力 \end{array}\right.$$

・気圧の高度変化

EOS: $p=\rho R_d T$を使うと、

$$\frac{\d p}{\d z} = -\frac{pg}{R_d T}$$

$$\to \frac{\d p}{p} = -\frac{g}{R_d T}\d z$$

$$\to \ln\frac{p_1}{p_0} = -\frac{g}{R_d}\int_{0}^{z_1}\frac{\d z}{T}\quad \begin{array}{l} p=p_1, T=T_1 @  z=z_1\\ p=p_0, T=T_0 @  z=0 {\rm (地表)} \end{array}$$ (3.18)

通常の大気では、

$$T(z)=T_0-\Gamma z, \qquad \Gamma=0.65 {\rm [K/100m]}$$ (3.19)

$$\setlength{\unitlength}{1pt} \thinlines \begin{picture}(12,12)%... ...$} \put(8,0){$\cdot$} \put(6,5){\circle{14}} \end{picture}  \ln \frac{p_1}{p_0} = -\frac{g}{R_d}\int_{0}^{z_1}\frac{\d z}{T_0-\Gamma z}$$

$$= +\frac{g}{R_d\Gamma}\int_{0}^{z_1}\frac{\d z}{z-T_0/\Gamma}$$

$$= \frac{g}{R_d\Gamma}\ln\left[\frac{z_1-\frac{T_0}{\Gamma}}{-\frac{T_0}{\Gamma}}\right]$$

$$= \frac{g}{R_d\Gamma}\ln\frac{T_0-\Gamma z_1}{T_0}$$

$$= \ln\left(\frac{T_0-\Gamma z_1}{T_0}\right)^{g/R_d\Gamma}$$

$$\to p_1 = p_0\left(\frac{T_0-\Gamma z_1}{T_0}\right)^{g/R_d\Gamma}$$ (3.20)

◎天気図の気圧

各地の測候所の高度は同じではない

        →高地では気圧が低い

そのため、上式を使い、海面上の気圧に補正し、等圧線を引く

        →海面更正