気体の脱出

脱出速度(escape velocity)
脱出…無限遠で速度が少なくとも0(非負)

地表付近での質量の分子に対する重力(万有引力)… $\displaystyle{F=-\frac{GMm}{R^2}}$

: 地球半径、 $\simeq 6.4\times 10^6$ [m]

: 地球質量、 $\simeq 6.0\times$ 10 $^{24}$ [kg]

: 万有引力定数、 $\simeq 6.7\times 10^{-11}$ [m kg $^{-1}$ s $^{-2}$ ]

$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} 運動方程式 ma=F\\ \qquad \to ma=\frac{G... ...} @地表\\ \qquad \to a=\frac{GM}{R^2}\equiv g (重力加速度) \end{array}\right.$

位置エネルギー

$\begin{displaymath} U=-\int_{\infty}^r F\d r=-\int_{\infty}^r\left(-\frac{GMm}{... ...ght)\d r=\left[-\frac{GMm}{r}\right]_{\infty}^r=-\frac{GMm}{r} \end{displaymath}$

無限遠を、位置エネルギー=0にとる

$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} 地表付近では、 \displaystyle{ U=-\frac{G... ...\\ \displaystyle{ U=\frac{GMm}{R^2}h=m\frac{GM}{R^2}h=mgh} \end{array}\right.$

運動エネルギー

$\begin{displaymath} \frac{1}{2}mv^2 \end{displaymath}$

全エネルギーは保存、また $r\to\infty$ で, でとすると、

$\begin{displaymath} \frac{1}{2}mv_e^2-\frac{GMm}{R}=0 \end{displaymath}$

(1.1)

$\begin{displaymath} \Rightarrow v_e^2=\frac{2GM}{R}, v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}} {\rm 分子量に依らない} \end{displaymath}$

(1.2)

一般に、 $v_e=\sqrt{2GM/R}$ を脱出速度と呼ぶ。

地球を基準に考える()

$\displaystyle v_e$	$\textstyle =$	$\displaystyle \left[\frac{2GM}{R}\right]^{1/2}=\left[\frac{2GM_E}{R_E}\right]^{1/2}\left(\frac{M}{M_E}\right)^{1/2}\left(\frac{R}{R_E}\right)^{-1/2}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \left[\frac{2\times 6.7\times 10^{-11}\times 6\times 10^{24}}{6.... ...}\right]^{1/2}\left(\frac{M}{M_E}\right)^{1/2}\left(\frac{R}{R_E}\right)^{-1/2}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle 1.12\times 10^4 \left(\frac{M}{M_E}\right)^{1/2}\left(\frac{R}{R_E}\right)^{-1/2}{\rm [m/s]}$
	$\textstyle \simeq$	$\displaystyle 11{\rm [km/s]}\left(\frac{M}{M_E}\right)^{1/2}\left(\frac{R}{R_E}\right)^{-1/2}$	(1.3)

[
l] $\fbox{宿題}$ 式(1.1)を出発点としてを表わす式 (1.2)を導出せよ。また、地球、月、火星について質量と半径を調べ、それぞれのを求めよ。

put the answer here

hydrodynamic escape
大気が加熱され、上空へ向かって大局的な運動が生じ、流出する現象。
温度

、分子の質量

の気体の典型的な速度は、

$\begin{displaymath} \frac{1}{2}mv^2\simeq\frac{3}{2} kT \left({\rm 二原子分子の小.. ...{5}{2}}\right) \longrightarrow v\simeq\sqrt{\frac{kT}{m}} \end{displaymath}$

(1.4)

となると、気体の大局的な運動が生じ、惑星から大気が流出していく。

$\displaystyle v$	$\textstyle =$	$\displaystyle \sqrt{\frac{3kT}{m}}=\left(\frac{3\times 1.4\times 10^{-23}\times... .../2}\left(\frac{T}{1000{\rm K}}\right)^{1/2}\left(\frac{m}{m_{H}}\right)^{-1/2}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle 5.0\times 10^{3}{\rm [m/s]}\left(\frac{T}{1000{\rm K}}\right)^{1/2}\left(\frac{m}{m_{H}}\right)^{-1/2}$	(1.5)

地球の場合、 $T\gtrsim 4000$ K程度で大局的な水素原子の流出が始まる。

Jeans escape
大局的には大気は安定しているが、速度の大きい分子が蒸発する現象。

気体分子の速度分布
平衡状態では Maxwell-Boltzmann分布になる。

$\displaystyle v$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}   {\rm 速度の大きさ}$ (1.6)

$\displaystyle f_{\rm MB}(v)$ $\textstyle =$ $\displaystyle f(v_x)f(v_y)f(v_z)   {\rm ←3方向独立}$ (1.7)

$\displaystyle f(v_i)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_i^2}{2kT}\right),  (i=x,y,z)$ (1.8)

ここで、は分子の質量、はBoltzmann定数、は温度。まとめると、

$\begin{displaymath} f_{\rm MB}(v)=4\pi v^2\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}\exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right) \end{displaymath}$ (1.9)

が大きいほど、高速の分子が増える(高温なほど、質量が小さいほど)。即ち、脱出速度を越える()分子が増える。

Figure: 正規(ガウス)分布に基づく気体分子の速度分布。

$\includegraphics[angle=-90,width=6cm]{gauss1.eps}$ $\includegraphics[angle=-90,width=6cm]{gauss2.eps}$
を越える原子の割合
水素原子(H)、酸素原子(O)について考えてみる。z方向にを越える速度を持つ原子の割合は、

$\displaystyle F_{e,i}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_{v_e}^{\infty}f(v_z; m_i)\d v_z ({i=\rm H, O})$

$\textstyle =$ $\displaystyle \int_{v_e}^{\infty}\sqrt{\frac{m_i}{2\pi kT}}\exp\left\{-\frac{m_i v_z^2}{2kT}\right\}\d v_z$

$\textstyle =$ $\displaystyle \int_{t_e,i}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-t^2}\d t\equiv\frac{1}{2}{\rm erfc}(t_e)\qquad t=\sqrt{\frac{m_i}{2kT}}v_z$ (1.10)

→相補誤差関数(complementary error function)

1 8 $\times 10^{-2}$

2 2 $\times 10^{-3}$

3 1 $\times 10^{-5}$

5 8 $\times 10^{-13}$

10 1 $\times 10^{-45}$

15 4 $\times 10^{-100}$

20 3 $\times 10^{-176}$

外気圏下部… $T\simeq 600$ K

水素原子の分子量 → $m_H=1.7\times 10^{-27}$ kg

酸素原子の分子量 → $m_O=2.7\times 10^{-26}$ kg

$\displaystyle t_{e,i}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{m_i}{2kT}}v_e$

$\textstyle \simeq$ $\displaystyle \sqrt{\frac{M\times 1.7\times 10^{-27}}{2\times 1.4\times 10^{-2... ...}\left(\frac{T}{600{\rm K}}\right)^{-1/2}\left(\frac{v_e}{11{\rm km/s}}\right)$

$\textstyle \simeq$ $\displaystyle 3.5M^{1/2}\left(\frac{T}{600{\rm K}}\right)^{-1/2}\left(\frac{v_e}{11{\rm km/s}}\right)$ (1.11)

$t_{e,H}\simeq 3.5$ → $F_{e,H}=4\times 10^{-7}$

$t_{e,O}\simeq 14$ → $F_{e,O}=2\times 10^{-87}$

の分子は速度になって大気上層から脱出するとする(単純化)。単位面積、単位時間あたり脱出する分子数

$\begin{displaymath} Q_e\simeq n v_e F_e \end{displaymath}$ (1.12)

$\includegraphics[width=5cm,clip]{Jeans_escape.eps}$

$\displaystyle \qquad\left[ \begin{array}{l} \Delta N=(n F_e)\Delta S v\Delta t\\ Q=\frac{\Delta N}{\Delta S\Delta t}=nv \end{array}\right.$

$\begin{eqnarray*} && n(100{\rm km})\simeq 10^{-4}{\rm mol/m^3}\simeq 10^{19}{\rm... ...} \put(6,4){\circle{14}} \end{picture} v_e\simeq 10^4 {\rm m/s}) \end{eqnarray*}$

単位面積当たりの総分子数は、

$\begin{displaymath} N\simeq nh\simeq 50{\rm\frac{mol}{m^3}}\times 100{\rm km}\simeq 5\times 10^6{\rm mol/m^2} \end{displaymath}$ (1.13)

脱出のタイムスケールは、

$\displaystyle \tau$ $\textstyle \simeq$ $\displaystyle \frac{N}{Q_e}\simeq\frac{5\times 10^6}{F_e}{\rm [s]}$

$\textstyle \tau_{H}$ $\displaystyle \simeq \frac{5\times 10^6}{4\times 10^{-7}}\simeq 10^{13}{\rm [s]... ...imes 10^5{\rm [yr]}\ll t_{\rm H}\quad (1{\rm [yr]}\simeq 3\times 10^7{\rm [s]})$

$\textstyle \tau_{O}$ $\displaystyle \simeq \frac{5\times 10^6}{2\times 10^{-87}}\simeq 3\times 10^{93}{\rm [s]}\simeq 10^{86}{\rm [yr]}\gg t_{\rm H}$ (1.14)

ここで

$\begin{displaymath} t_{\rm H}\equiv {\rm 宇宙年齢} \simeq 1.4\times 10^{10}{\rm [yr]} \end{displaymath}$

⇒水素はすぐに脱出するが、酸素は残る

:	地球半径、 $\simeq 6.4\times 10^6$ [m]
:	地球質量、 $\simeq 6.0\times$ 10 $^{24}$ [kg]
:	万有引力定数、 $\simeq 6.7\times 10^{-11}$ [m kg $^{-1}$ s $^{-2}$ ]

$\displaystyle v$	$\textstyle \equiv$	$\displaystyle \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} {\rm 速度の大きさ}$	(1.6)
$\displaystyle f_{\rm MB}(v)$	$\textstyle =$	$\displaystyle f(v_x)f(v_y)f(v_z) {\rm ←3方向独立}$	(1.7)
$\displaystyle f(v_i)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_i^2}{2kT}\right), (i=x,y,z)$	(1.8)

$\displaystyle F_{e,i}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \int_{v_e}^{\infty}f(v_z; m_i)\d v_z ({i=\rm H, O})$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \int_{v_e}^{\infty}\sqrt{\frac{m_i}{2\pi kT}}\exp\left\{-\frac{m_i v_z^2}{2kT}\right\}\d v_z$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \int_{t_e,i}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-t^2}\d t\equiv\frac{1}{2}{\rm erfc}(t_e)\qquad t=\sqrt{\frac{m_i}{2kT}}v_z$	(1.10)


1	8 $\times 10^{-2}$
2	2 $\times 10^{-3}$
3	1 $\times 10^{-5}$
5	8 $\times 10^{-13}$
10	1 $\times 10^{-45}$
15	4 $\times 10^{-100}$
20	3 $\times 10^{-176}$

水素原子の分子量		→ $m_H=1.7\times 10^{-27}$ kg
酸素原子の分子量		→ $m_O=2.7\times 10^{-26}$ kg

$\displaystyle t_{e,i}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \sqrt{\frac{m_i}{2kT}}v_e$
	$\textstyle \simeq$	$\displaystyle \sqrt{\frac{M\times 1.7\times 10^{-27}}{2\times 1.4\times 10^{-2... ...}\left(\frac{T}{600{\rm K}}\right)^{-1/2}\left(\frac{v_e}{11{\rm km/s}}\right)$
	$\textstyle \simeq$	$\displaystyle 3.5M^{1/2}\left(\frac{T}{600{\rm K}}\right)^{-1/2}\left(\frac{v_e}{11{\rm km/s}}\right)$	(1.11)

$t_{e,H}\simeq 3.5$	→ $F_{e,H}=4\times 10^{-7}$
$t_{e,O}\simeq 14$	→ $F_{e,O}=2\times 10^{-87}$

$\displaystyle \tau$	$\textstyle \simeq$	$\displaystyle \frac{N}{Q_e}\simeq\frac{5\times 10^6}{F_e}{\rm [s]}$
	$\textstyle \tau_{H}$	$\displaystyle \simeq \frac{5\times 10^6}{4\times 10^{-7}}\simeq 10^{13}{\rm [s]... ...imes 10^5{\rm [yr]}\ll t_{\rm H}\quad (1{\rm [yr]}\simeq 3\times 10^7{\rm [s]})$
	$\textstyle \tau_{O}$	$\displaystyle \simeq \frac{5\times 10^6}{2\times 10^{-87}}\simeq 3\times 10^{93}{\rm [s]}\simeq 10^{86}{\rm [yr]}\gg t_{\rm H}$	(1.14)