揺らぎの持つ角運動量の成長

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揺らぎの持つ角運動量の成長

領域 $\Gamma$ が collapse するとして、この領域の持つ角運動量がどうなるかを調べよう[15,6,3,4,11]。角運動量

は、定義により

$\begin{displaymath} L(t)=\int_{\Gamma}({\r -\bar{\r }})\times {\u }\rho d^{3}r \end{displaymath}$

(3.104)

ここで質量保存 $\rho d^{3}x=\bar{\rho}d^{3}q$ 、 ${\u }=a\dot{{\mbox{\boldmath$x$}}}$ 、 ${\r }=a{{\mbox{\boldmath$x$}}}$ を使うと

$\begin{displaymath} L(t)=\bar{\rho}a^{5}\int_{\Gamma}({{\mbox{\boldmath$x$}}-\b... ...\mbox{\boldmath$x$}}}})\times\dot{{\mbox{\boldmath$x$}}}d^{3}q \end{displaymath}$

(3.105)

となる。Zel'dovich 近似を用いると、

$\begin{displaymath} L(t)=\bar{\rho}a^{5}\dot{D}\int_{\Gamma}({{\mbox{\boldmath$q$}}-\bar{{\mbox{\boldmath$q$}}}})\times\nabla\varphi d^{3}q \end{displaymath}$

(3.106)

である。ここで

$\begin{displaymath} \bar{{\mbox{\boldmath$q$}}}=\Gamma^{-1}\int_{\Gamma}{{\mbox{\boldmath$q$}}}d^{3}q \end{displaymath}$

(3.107)

である。これより領域の非球対称性が重要であることがわかる。

次に、potential $\varphi$ を $\bar{{\mbox{\boldmath$q$}}}$ のまわりに展開する。

$\begin{displaymath} \varphi({{\mbox{\boldmath$q$}}})=\varphi(\bar{{\mbox{\boldm... ...q$}}}})\cdot\nabla\varphi\vert _{{\mbox{\boldmath$q$}}}+\ldots \end{displaymath}$

(3.108)

これを式(3.78)に代入すると、

$\begin{displaymath} L(t)=\bar{\rho}a^{5}\dot{D}\int_{\Gamma}\epsilon_{ijk}(q_{j... ...\partial_{k}\partial_{l}\varphi({\bar{{\mbox{\boldmath$q$}}}}) \end{displaymath}$

(3.109)

となる。 $\epsilon_{ijk}$ は完全反対称テンソルである。ここで potential の微分の項を

$\begin{displaymath} {\cal D}_{kl}\equiv\partial_{k}\partial_{l}\varphi({\bar{{\mbox{\boldmath$q$}}}}), \end{displaymath}$

(3.110)

inertial tensor を

$\begin{displaymath} {\cal I}_{jl}\equiv\bar{\rho}a^{3}\int_{\Gamma}(q_{j}-\bar{q_{j}})(q_{l}-\bar{q_{l}}) \end{displaymath}$

(3.111)

とすると

$\begin{displaymath} L(t)=a^{2}\dot{D}\epsilon_{ijk}{\cal D}_{kl}{\cal I}_{jl} \end{displaymath}$

(3.112)

となり、時間に依存する項を見ると、E-dS宇宙では

$\begin{displaymath} L(t)\propto a^{2}\dot{D}\propto t \end{displaymath}$

(3.113)

と時間の一次に比例して増大することになる。実際には、maximum expansion のあたりで角運動量の獲得は止まり、あとは保存して collapse することになる。つまり

$\begin{displaymath} \delta=D_{ta}\Delta\varphi=\delta_{ta}\simeq 1.05 \end{displaymath}$

(3.114)

となるところまで成長する。

inertia tensor を見ると、次元的に ${\cal I}\sim MR^{2}$ であり、上の式と合わせて、これは $M^{5/3}/D_{ta}\propto M^{5/3}t_{ta}^{-2/3}$ に比例する。これより、maximum expansion での、即ち最終的にハローが獲得する角運動量は

$\begin{displaymath} L_{f}\propto M^{5/3}t_{ta}^{1/3} \end{displaymath}$

(3.115)

となる。

通常、角運動量を議論する際は、無次元の spin parameter $\lambda$ を用いる。これは、

$\begin{displaymath} \lambda\equiv\frac{L\vert E_{\rm tot}\vert^{1/2}}{GM^{5/2}} \end{displaymath}$

(3.116)

で定義される。角運動量が0なら0、完全に rotation support になっていれば $\simeq 1$ となる。図5に、Catelan & Theuns による $\lambda$ の分布を示す。詳細は略すが、これは初期に Gauss 分布する揺らぎの場を考え、揺らぎのピークになる点のまわりの角運動量の分布がどうなるかを計算したものである。パラメータになっている $\nu$ は揺らぎの高さの尺度で、揺らぎの偏差を $\sigma$ の何倍かを示す( $\nu=\delta/\sigma$ )。 $\nu$ が大きいほど早く collapse するので、それだけ獲得する角運動量も小さいということになる。

いづれの $\nu$ にしても、 $$\lambda\mathrel{\mathchoice {\vcenter{\offinterlineskip\halign{\hfil $\displays... ...\offinterlineskip\halign{\hfil$\scriptscriptstyle ...$ がほとんどを占めている。つまり、ダークハローはほとんど回転していないということを示している。ただし、これが銀河になる際には内部のガスがエネルギーを失って収縮するため、結果的には $\lambda\simeq 1$ となる。

この分布は、いわゆる log-normal分布で良く fit される。

$\begin{displaymath} p(\lambda)d\lambda= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{\lambda}} \... ...n\bar{\lambda})^2} {2\sigma_{\lambda}^{2}}\right] d\ln\lambda, \end{displaymath}$

(3.117)

ここで $\bar{\lambda}$ は平均の $\lambda$ 、 $\sigma_{\lambda}$ は $\log\lambda$ の分散である。大体 $\bar{\lambda}=0.05$ 、 $\sigma_{\lambda}=0.5$ となる。

**Figure 5:**
$\begin{figure} \epsfxsize =0.7\hsize \epsfbox{CatelanTheuns.eps}\end{figure}$

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NAGASHIMA Masahiro
2009-03-12