Gauss分布

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Gauss分布

密度揺らぎ $\delta$ は、 $\delta\ll 1$ の時代には通常 random Gaussian 揺らぎであると仮定される。揺らぎの分散を $\sigma^2=\langle\delta^2\rangle$ と置くと、一点分布関数は

$\begin{displaymath} f(\delta){\rm d}\delta=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{\delta^2}{2\sigma^2}\right){\rm d}\delta \end{displaymath}$

(4.118)

となる。ここで $\sigma^{2}$ は揺らぎの分散であり、 $\sigma^{2}\equiv\langle\delta^{2}\rangle$ である。 $\delta$ のFourier変換は、

$\displaystyle \delta_{\k }\equiv\vert\delta_{\k }\vert{\bf e}^{i\phi_{\k }}=\in... ...ath$x$}}}){\bf e}^{i{\k\cdot{\mbox{\boldmath$x$}}}}{\d }{{\mbox{\boldmath$x$}}}$			(4.119)
$\displaystyle \delta({\mbox{\boldmath$x$}})=\frac{1}{(2\pi)^3}\int\delta_{\k }{\bf e}^{-i\k\cdot{\mbox{\boldmath$x$}}}\d\k$			(4.120)

であり、 $\phi_{\k }$ は $\k$ 成分の位相である。random Gaussian 揺らぎは位相に相関がなく、

$\begin{displaymath} \langle\phi_{\k }\phi_{\k '}\rangle\propto\delta_{\k ,\k '} \end{displaymath}$

(4.121)

である。amplitude の自乗平均は、power spectrum と呼ばれ、

$\begin{displaymath} P(k)\equiv\langle\vert\delta_{\k }^2\vert\rangle\qquad\langle\delta_{\k }\delta_{\k '}\rangle=P(\k )\delta^D(\k -\k ') \end{displaymath}$

(4.122)

で定義される。ここで $\langle\rangle$ は ensemble平均を表し、また一様等方性より $P({\k })=P(k)$ とした。重要な関係として、二体相関関数 $\xi(r)\equiv\langle\delta({{\mbox{\boldmath$x$}}})\delta({{\mbox{\boldmath$x$}}+\r })\rangle$ と

$\begin{displaymath} P(k)=\int\xi(r){\bf e}^{i\k\cdot{\mbox{\boldmath$x$}}}{\rm d}{{\mbox{\boldmath$x$}}} \end{displaymath}$

(4.123)

というFourier変換の関係にある。また、Gaussian random field の特徴として、

或いは $\xi(r)$ によって、一意的に分布が定まる。

次に、power spectrum の時間進化を見よう。通常、inflation直後に生成される揺らぎは $P(k)\propto k$ と仮定され、Harrison-Zel'dovich spectrum と呼ばれる。 $t<t_{\rm eq}$ では horizon より大きい揺らぎはに比例して成長し、 horizon 内の揺らぎは成長しない。一方、 $t>t_{\rm eq}$ の揺らぎは、どのスケールでも一様に成長する。従って、その様子を図に描くと、FIG.6 のようになる。なお、分散に直すと、 $\sigma^2\simeq\int P(k){\rm d}^3k\simeq k^3P(k)$ であるから、短波長側( $k>k_{\rm eq}$ )では $\sigma\sim\mbox{const.}$ となる。ただし、実際には完全に成長が止まるわけではなく、 $\log$ 的な成長があるため、完全に一定値になるわけではない。