密度揺らぎの smoothing

通常仮定されるCDMのpower spectrumは紫外発散を起こしているので、意味のあ る揺らぎにするために粗視化(smoothing)を実行する。以下では、$\delta\ll 1$ の状況のみ考えるが、前章の議論から、線型段階の$\delta$と非線型の$\delta$ は球対称解を用いて mapping できるので、球対称解の範囲で非線型成長も考慮 できることになる。

適切なWindow関数 $W_M({\mbox{\boldmath$x$}})$を考える。これは、空間積分を実行すると1になるよ うに規格化されているものである。また、以降の議論では、球対称なものを考え る。添字の$M$は、smoothing scale $R$が球対称で質量が$M$の領域に相当すること を意味し、

$$M\simeq\bar{\rho}R^3$$ (4.128)

となる。この時、scale $M$の密度揺らぎ場は、

$$\delta_M({\mbox{\boldmath$x$}})=\int W_M({\mbox{\boldmath$x... ...ath$x$}})\delta({\mbox{\boldmath$x$}}')d{\mbox{\boldmath$x$}}'$$ (4.129)

で表される。

一方、揺らぎをFourier成分で表すと便利であったので、Window関数もFourier変 換しておくと、

$$\tilde{W}(kR)=\int W_M({\mbox{\boldmath$x$}}){\bf e}^{-i\k\cdot{\mbox{\boldmath$x$}}}\d {\mbox{\boldmath$x$}}$$ (4.130)

となる。ここで、$k$空間での cut-off scale を $k_c$とおくと、 $k_c\simeq 2\pi/R$である。これを用いると、

$$\delta_M({\mbox{\boldmath$x$}})=\int\tilde{W}(kR)\delta_\k e^{i\k\cdot{\mbox{\boldmath$x$}}}\frac{\d\k }{(2\pi)^3}$$ (4.131)

となる。この粗視化された場で、 $\delta=\delta_c$となる点が、粗視化のスケー ルで天体として collapse すると考えることができる。

以下に、しばしば用いられるWindow関数(filter)の形を挙げておく。

1. Top-hat filter
   
   

   $$W_{M}(r) = \frac{3}{4\pi R^{3}}\theta(1-\frac{r}{R}),$$ (4.132)

   $$\tilde{W}(kR) = \frac{3}{(kR)^{3}}(\sin kR-kR\cos kR)=\frac{3}{kR}j_1(kR).$$ (4.133)

   
   

2. Gaussian filter
   
   

   $$W_{M}(r) = \frac{1}{(2\pi R^{2})^{3/2}}\exp\left(-\frac{r^{2}}{2R^{2}}\right),$$ (4.134)

   $$\tilde{W}(kR) = \exp\left(-\frac{k^{2}R^{2}}{2}\right).$$ (4.135)

   
   

3. Sharp $k$-space filter
   
   

   $$W_{M}(r) = \frac{\sin k_{c}r -k_{c}r\cos k_{c}r}{2\pi^{2}r^{3}}=\frac{k_c^2}{2\pi r}j_1(k_c r),$$ (4.136)

   $$\tilde{W}(kR) = \theta(k_{c}-k),$$ (4.137)

   
   

$\theta(x)$ は Heaviside の step function である。