天体の個数密度

ここでは球対称解と揺らぎの Gaussian 分布から、質量$M$の天体の個数密度 $n(M){\rm d}M$を見積る Press-Schechter 近似を紹介する[14]。

さて、smoothing scale $M_1$ で$\delta_c$を越える質量(領域)は、$M_1$より も大きい天体として collapse するはずである。なぜならば、$M_2>M_1$となる より大きいスケールで smoothing を行えば、丁度 $\delta=\delta_c$となるスケー ルが存在するはずだからである。従って、スケール$M_1$の場で$\delta_c$を越 える領域は、質量$M_1$より大きい天体として collapse する領域内にある、 $M_1$で smoothing した時に$\delta_c$を越える領域の和に等しい。 この「$M_1$でsmoothingした時に$\delta_c$を越える確率(あるいは全宇宙にお いて$\delta_c$を越える領域にある質量の割合)」を $f(\geq\delta_c;M_1)$と置 くと、解くべき方程式は

$$f(\geq\delta_{c};M_{1})=\int_{M_{1}}^{\infty}P(M_{1}\vert M_{2}) \frac{M_{2}} {\bar\rho}n(M_{2})dM_{2},$$ (4.143)

となる。ここで、$P(M_1\vert M_2)$は、$M_2$ field で丁度$\delta_c$となる点で、 $M_1$ field では$\delta_c$を越える確率、

$$P(M_{1}\vert M_{2})=p(\delta_{M_{1}}\geq\delta_{c}\vert \delta_{M_{2}}=\delta_{c})$$ (4.144)

である。これを求めるためには、条件付き確率を求めなければならない。そして、 条件付き確率を求めるためには、2変数( $\delta_{M_1}, \delta_{M_2}$)のGauss 分布を考える必要がある。

一般に、$N$変数のGauss分布は次のように書ける：

$$p({\bf V}^{N})d{\bf V}^{N}=\frac{\exp[-Q/2]}{\sqrt{(2\pi)^{N}\det({\bf M})}}d{\bf V}^{N},$$ (4.145)

ここで${\bf M}$は covariance matrix であり、また

$$Q = {\bf V}{\bf M}^{-1}{\bf V}^{\rm T}$$ (4.146)

$$M_{ij} = \langle(x_{i}-\langle x_{i}\rangle) (x_{j}-\langle x_{j}\rangle)\rangle.$$ (4.147)

である。$M_{ij}$の要素を sharp $k$-space filter の場合に具体的に考えると、

$$\langle\delta_{1}^{2}\rangle = \sigma_{1}^{2}=\int_0^{k_1} P(k)4\pi k^2\d k,$$ (4.148)

$$\langle\delta_{2}^{2}\rangle = \sigma_{2}^{2}=\int_0^{k_2} P(k)4\pi k^2\d k,$$ (4.149)

$$\langle\delta_{1}\delta_{2}\rangle = \sigma_{12}^2=\int_0^{k_2} P(k)4\pi k^2\d k=\sigma_{2}^2,$$ (4.150)

である。いまは filter の性質により、covariance が $\delta_2$の分散と同じ になることに注意。逆行列は

$$\frac{1}{\sigma_2^2(\sigma_1^2-\sigma_2^2)} \left( \begin{a... ...2 & -\sigma_2^2\\ -\sigma_2^2 & \sigma_1^2 \end{array}\right)$$ (4.151)

となるので、

$$Q=\frac{1}{\sigma_2^2(\sigma_1^2-\sigma_2^2)}(\delta_1\quad... ...lta_2)^2}{\sigma_1^2-\sigma_2^2}+\frac{\delta_2^2}{\sigma_2^2}$$ (4.152)

となる。これより、

$$p(\delta_1,\delta_2)=\frac{1}{2\pi\sqrt{\sigma_1^2-\sigma_2... ...^2}{2(\sigma_1^2-\sigma_2^2)}-\frac{\delta_2^2}{2\sigma_2^2}}}$$ (4.153)

となることがわかるが、

$$p(\delta_2)\d\delta_2=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{\delta_2^2}{2\sigma_2^2}}$$ (4.154)

であることに注意すると、

$$p(\delta_1,\delta_2)= \frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2-\sigm... ...{(\delta_1-\delta_2)^2}{2(\sigma_1^2-\sigma_2^2)}}}p(\delta_2)$$ (4.155)

であるから、条件付き確率は

$$p(\delta_1\vert\delta_2)=\frac{p(\delta_1,\delta_2)}{p(\del... ... {e^{-\frac{(\delta_1-\delta_2)^2}{2(\sigma_1^2-\sigma_2^2)}}}$$ (4.156)

となる。つまり、$\delta_2$が指定されている場合、そこからのズレは、 smoothing scale の違いがもたらす分散のズレを分散とする Gaussian になるこ とがわかる。

これを用いると、 $\delta_2=\delta_c$の時に、 $\delta_1\geq\delta_c$となる 確率は、

$$P(M_1\vert M_2)=p(\delta_1\geq\delta_c\vert\delta_2=\delta_c)=p(\Delta\delta\geq 0)=\frac{1}{2}$$ (4.157)

となる。

これを元の積分方程式に入れると、

$$f(\geq\delta_{c};M_{1})=\frac{1}{2}\int_{M_{1}}^{\infty} \frac{M_{2}} {\bar\rho}n(M_{2})dM_{2},$$ (4.158)

となる。

さて、これを$M_1$で微分してみよう。すると、

$$\frac{M n(M)}{\bar{\rho}}\d M=-2\frac{\partial f(\delta_1\geq\delta_c;M)}{\partial M}\d M$$ (4.159)

となる。ここで、変数を正規化してやると、

$$f(\delta\geq\delta_c)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_{\d... ...qrt{2\pi}}\int_{\nu_c}^{\infty}{\bf e}^{-\frac{\nu^2}{2}}\d\nu$$ (4.160)

ここで

$$\nu_c=\frac{\delta}{\sigma}$$ (4.161)

である。従って、

$$\frac{\partial f}{\partial M}=\frac{\partial}{\partial M}\... ...}{\partial M}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}{\bf e}^{-\frac{\nu_2^2}{2}}$$ (4.162)

以上より、

$$n(M)=-\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\rho_0\delta_c}{M^2\sigma_M}\frac{{\rm d}\ln\sigma_M}{{\rm d}\ln M}{\bf e}^{-\frac{\delta_c^2}{2\sigma^2_M}}$$ (4.163)

となる。これをPress-Schechter質量関数と呼ぶが、$n>-3$の場合のみ適用可能 であることに注意しなければならない。small mass scale では、 $n\propto M^{-2}\sigma^{-1}\propto M^{n-9}{6}\sim M^{-2}$となる。