星間雲の収縮と重力不安定

星間雲の構成：H〜75%, He〜23%, それ以外の元素〜2%
(H,He,Li:ビッグバンで生成)                (主に星で生成)

高密度領域
        →原子同士が衝突しやすい
        →分子(COなど)ができやすい⇒分子雲
分子雲内の密度の高いところ→分子雲コア…星の「種」

◎重力不安定…自己重力でガス雲は収縮できるか？

• 球殻の質量
  
  $$\Delta M=4\pi r^2\rho\Delta r$$
  
  

• 球殻への重力
  
  $$F_g = -G\frac{M_r}{r^2}\Delta M ~~~~~M_r{\rm : 半径{\it r}より内側の質 量}$$
  
  
  
  
  $$\qquad = -\frac{GM_r}{r^2}4\pi r^2\rho\Delta r$$
  
  

• 圧力勾配による力
  
  $$F_{pg} = 4\pi r^2 P - 4\pi r^2(P+\Delta P)$$
  
  
  
  
  $$\qquad = -4\pi r^2\Delta P ~~~~({\rm 外側の圧力の方が低いので、}\Delta P<0)$$
  
  

• 力のつりあいより、
  
  $$F_g+F_{pg}=0 \Rightarrow 4\pi r^2\Delta P = -\frac{GM_r}{r^2}4\pi r^2\rho\Delta r$$
  
  
  
  
  $$\qquad\qquad \rightarrow \frac{\d P}{\d r}=-\frac{GM_r}{r^2}\rho ~~~~{\rm\gt \underline{静水圧平衡}}$$
  
  

◎簡単な評価

Figure 4.1: 実線で近似する

r6cm

圧力勾配を$P\propto -r$と簡単に近似する

$$\frac{\d P}{\d r}\simeq -\frac{P}{R}$$

$$\Rightarrow \frac{P}{R}\simeq \frac{GM\rho}{R^2}\simeq GR\rho^2$$

ここで音速 $${c_S^2\equiv\frac{\d P}{\d\rho}\simeq\frac{P}{\rho}\propto T}~~( \... ...cdot$} \put(8,3){$\cdot$} \put(6,4){\circle{14}} \end{picture}~P\propto \rho T)$$

$$\rightarrow P\simeq c_S^2\rho\simeq GR^2\rho^2$$

$$\rightarrow R^2\simeq\frac{c_S^2}{G\rho}, \Rightarrow R\simeq\frac{c_S}{\sqrt{G\rho}}$$

臨界長(Jeans長)$\lambda_J$

$$\lambda_J\equiv\frac{c_S}{\sqrt{G\rho}}$$

臨界質量(Jeans質量)$M_J$

$$M_J\simeq\lambda_J^3\rho=\frac{c_S^3}{G^{3/2}\rho^{1/2}}$$

$\lambda_J$より大きい雲/$M_J$より大質量の雲は、自己重力で「崩壊」(収縮) する。

収縮する時間スケール(free-fall time)

$$t_{ff}\simeq\frac{\lambda_J}{c_S}\simeq\frac{1}{\sqrt{G\rho}}~~~(\lambda>\lambda_J, M>M_J)$$

$\lambda<\lambda_J, M<M_J$の場合、圧力が下がらないと収縮しない
        →内部エネルギーを抜く(冷却)

★典型的なスケール

$$\lambda_J=4.3\times 10^4 \left(\frac{T}{10{\rm K}}\right)^{1/2}\left(\frac{n}{10^4{\rm cm^{-3}}}\right)^{-1/2}~{\rm [AU]}$$

$$M_J=5.4\times \left(\frac{T}{10{\rm K}}\right)^{3/2}\left(\frac{n}{10^4{\rm cm^{-3}}}\right)^{-1/2}~M_{\odot}$$

$$t_{ff}=1.1\times 10^6 \left(\frac{n}{10^4{\rm cm^{-3}}}\right)^{-1/2}~{\rm [yr]}$$

⇒100万年程度で崩壊する。

◎収縮をはじめるとどうなるか？→熱力学

r6cm

熱力学第一法則(エネルギー保存則)

$$\d 'Q=\d E+p\d V$$

        熱・仕事⇔エネルギー(同じ次元)

	$\d 'Q$	注入されたエネルギー(熱量)
	$\d E$	内部エネルギー
	$p\d V$	仕事

$$\d 'Q=T\d S~~~S: {\rm エントロピー}$$

• 体積一定のとき($\d V=0$)
  
  $$\d 'Q=\d E\equiv n C_V\d T$$
  
  

  $n$:	モル数
  $C_V$:	定積比熱。1mol当たり、1K上昇させるのに必要な熱量

  
  →注入した熱が、すべて温度上昇に使われる

• 圧力一定のとき($\d p=0$)
  
  $$\d 'Q = \d E+p\d V\equiv n C_p\d T$$
  
  

  $C_p$:

  定圧比熱。$p\d V$の仕事の分だけ余計に熱が必要。

  
  ここで $\d E=n C_V\d T$より、
  
  $$n C_p\d T=\d E+p\d V$$
  
  
  
  
  $$\qquad = n C_V\d T+p\d V$$
  
  
  状態方程式$pV=nRT$より($R$は気体定数)、
  
  $$\qquad = n C_V\d T+\d (pV)-V\d p$$
  
  
  
  
  $$\qquad = n C_V\d T+\d (nRT)~~~( \setlength{\unitlength}{1pt... ...ut(8,3){$\cdot$} \put(6,4){\circle{14}} \end{picture}~ \d p=0)$$
  
  
  
  
  $$\qquad = n (C_V+R)\d T$$
  
  
  
  
  $$\setlength{\unitlength}{1pt} \thinlines \begin{picture}(1... ...){$\cdot$} \put(6,5){\circle{14}} \end{picture}~~~ C_p = C_V+R$$
  
  

• 断熱のとき($\d 'Q=0$)
  
  $$\d E+p\d V=0$$
  
  
  
  
  $$\qquad\rightarrow n C_V\d T+\frac{nRT}{V}\d V=0$$
  
  
  
  
  $$\qquad\rightarrow C_V\frac{\d T}{T}+R\frac{\d V}{V}=0$$
  
  
  
  
  $$\qquad\rightarrow C_V\frac{\d T}{T}+(C_p-C_V)\frac{\d V}{V}=0$$
  
  
  
  
  $$\qquad\rightarrow\frac{\d T}{T}+(\gamma-1)\frac{\d V}{V}=0,~~\gamma\equiv\frac{C_p}{C_V}: {\rm 比熱比}$$
  
  
  積分すると、
  
  $$\qquad\rightarrow \ln T+(\gamma-1)\ln V={\rm const.} ~~~ y=... ... \frac{\d y}{\d x}=\frac{1}{x},\rightarrow \d y=\frac{\d x}{x}$$
  
  
  
  
  $$\qquad\rightarrow \ln TV^{\gamma-1}={\rm const.}$$
  
  
  
  
  $$\qquad\rightarrow TV^{\gamma-1}={\rm const.}$$
  
  
  $pV\propto T$より、
  
  $$\qquad pV^{\gamma}={\rm const.}$$
  
  
  ここで、$F_g$と$F_{pg}$の比を考える。
  

  $${\quad\frac{F_g}{F_{pg}}} \left\{ \begin{tabular}{ll}$$>1=1<1
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  のとき、	↓で	↓	収縮しない
  のとき、	↓で	↑	収縮する

  単原子分子気体		→
  二原子分子気体		→

  
  断熱収縮の場合、どこかで圧力が強くなり、収縮が止まる。実際 の宇宙では、C, O, 分子などが効率良くエネルギーを放出する(冷却)

  →ほぼ等温で収縮、 、収縮できる
  →星が作られる