バックグラウンド

次に、摂動論を考えよう。まずはゼロ次を考える。速度については、固有速度 $\u$自体が摂動であることに注意する。

$$\left\{ \begin{array}{l} \rho = \rho_0 + \rho_1\\ \v = \v _H + \u\\ \Psi = \Psi_0 + \phi\\ p = p_0 + p_1 \end{array}\right.$$ (3.63)

これらより、ゼロ次の方程式は

$$\frac{\partial\rho_0}{\partial t}+3H\rho=0$$ (3.64)

$${\mbox{\boldmath$x$}}\frac{\partial\dot{a}}{\partial t}=-\frac{1}{a}\nabla\Psi_0$$ (3.65)

$$\Delta\Psi_0 = 4\pi G\rho_0 a^2$$ (3.66)

となる。

まず連続の式を見てみよう。これは以下のように容易に変形できる。

$$\frac{1}{a^3}\frac{\partial}{\partial t}(\rho_0 a^3)=0$$ (3.67)

$\rho_0\propto a^{-3}$であるから、これは質量保存の法則、あるいは断熱膨張を示している。

次に運動方程式であるが、両辺に$\nabla$を作用させると、

$$3\ddot{a}=-\frac{1}{a}\Delta\Psi_0=-4\pi G\rho_0 a$$ (3.68)

となり、結局

$$\ddot{a}=-\frac{4\pi G\rho_0 a}{3}$$ (3.69)

となり、Friedmann方程式に一致する。