膨張宇宙での流体方程式

次に、background が膨張しているもとでの流体力学方程式を考える。

既に述べたように、空間座標は物理的な距離$\r$と共動座標 ${\mbox{\boldmath$x$}}$の両方で表され、 これらの関係はscale factorを通じて

$$\r =a(t){\mbox{\boldmath$x$}}$$ (3.53)

となっている。前節で導いた流体力学方程式は当然$\r$についてのものであるた め、ここでは ${\mbox{\boldmath$x$}}$についての式に書き直し、宇宙膨張の効果がどのように表れる かを見てみよう。

まず空間微分については、上の関係より

$$\nabla_r = \frac{1}{a}\nabla_x$$ (3.54)

となる($\nabla$の添字はどの座標での微分を実行するかを示す)。次に時間微分 であるが、まず上の関係式より速度は

$$\v\equiv\dot{\r }=\dot{a}{\mbox{\boldmath$x$}}+a\dot{{\mbox... ...=\frac{\dot{a}}{a}a{\mbox{\boldmath$x$}}+a\dot{x}\equiv\v _H+\u$$ (3.55)

と書ける。ここで$\v _H$は宇宙膨張の速度であり、$\u$はそこからのズレ(固有 速度)である。

これらを用いると、Lagrange微分の特性から、

$$\frac{\d f}{\d t} = \left.\frac{\partial f}{\partial t}\right\vert _r+\v\cdot\nabla_r f$$ (3.56)

$$= \left.\frac{\partial f}{\partial t}\right\vert _x+\dot{{\mbox{\boldmath$x$}}}\cdot\nabla_x f$$ (3.57)

となることがわかる。若干変形すると、

$$\left.\frac{\partial f}{\partial t}\right\vert _r = \left.\frac{\partial f}{\partial t}\right\vert _x-\left( \v\cdot\... ...artial t}\right\vert _x- \left([\v _H+\u ]\cdot\nabla_r-\u\cdot\nabla_r\right)f$$

$$= \left.\frac{\partial f}{\partial t}\right\vert _x-\v _H\cdot\nabl... ...rac{\partial f}{\partial t}\right\vert _x-H{\mbox{\boldmath$x$}}\cdot\nabla_x f$$ (3.58)

となる($H=\dot{a}/a$)。従って、

$$\left.\frac{\partial f}{\partial t}\right\vert _r=\left.\fr... ...partial t}\right\vert _x-H{\mbox{\boldmath$x$}}\cdot\nabla_x f$$ (3.59)

である。無論、式(3.15)のように導いても同じことである。

以上をふまえて、Euler形式での膨張宇宙における流体力学方程式を書くと(添字 のない偏微分は$x$での微分)、

$$\frac{\d\rho}{\d t}+\rho\nabla_r\cdot\v = \frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\u }{a}\cdot\nabla\rho+\fra... ...o}{\partial t}+\frac{\rho}{a}\nabla\cdot(\v _H)+\frac{1}{a}\nabla\cdot(\rho\u )$$

$$= \frac{\partial\rho}{\partial t}+3H\rho+\frac{1}{a}\nabla(\rho\u )=0$$ (3.60)

$$\frac{\d\v }{\d t} = \frac{\partial}{\partial t}(\v _H+\u )+\frac{\u }{a}\cdot\nabla(\v _H+\u )$$

$$= {\mbox{\boldmath$x$}}\frac{\partial\dot{a}}{\partial t}+H(\u\cdot... ...\mbox{\boldmath$x$}}+\frac{\partial\u }{\partial t}+\frac{1}{a}\u\cdot\nabla\u$$

$$= \ddot{a}{\mbox{\boldmath$x$}}+H\u +\frac{\partial\u }{\partial t}+\frac{1}{a}\u\cdot\nabla\u$$

$$= -\frac{1}{a\rho}\nabla p-\frac{1}{a}\nabla\Psi$$ (3.61)

$$\Delta\Psi = 4\pi G\rho a^2$$ (3.62)

となる。