運動方程式

次に、体積$\d V$の流体素片についての運動方程式を考えよう。

Newtonの運動方程式より、力を ${\mbox{\boldmath$F$}}$とすると、

$$m\frac{\d\v }{\d t}=\rho\d V\frac{\d\v }{\d t}={\mbox{\boldmath$F$}}$$ (3.46)

となる($m=\rho\d V$)。次に力を考える。一つは重力であり、重力ポテンシャル を$\Psi$とおくと、力は$-m\nabla\Psi$である。重力ポテンシャルと密度との関 係は、

$$\Delta\Psi = 4\pi G\rho$$ (3.47)

である(Poisson方程式)。

次に流体の場合も考慮して圧力に起因する力を考えておく。ここでも簡単のため にまずは一次元系で考えよう。流体素片の断面積をSとおき、奥行を$\d L$とする と($\d V=S\d L$)、圧力勾配による力は

$$p(x)S-p(x+\d L)S=-\frac{\partial p}{\partial x}S\d L=-\frac{\partial p}{\partial x}\d V$$ (3.48)

三次元の場合は方向ベクトルを掛けて足し上げれば良いので、単純に$-\d V\nabla p$となる。

まとめると、運動方程式は

$$\rho\d V\frac{\d\v }{\d t} = -\d V\nabla p-\rho\d V\nabla\Psi$$

$$\to \frac{\d\v }{\d t} = -\frac{1}{\rho}\nabla p-\nabla\Psi$$ (3.49)

となる。これをEuler方程式と呼ぶ。もし粘性などを考慮すると、右辺の力の項 にそれらが加わることになる(Navier-Stokes方程式)。

以上より、解くべき式は、Lagrange形式で書くと

$$\frac{\d\rho}{\d t} = -\rho\nabla\cdot\v$$ (3.50)

$$\frac{\d\v }{\d t} = -\frac{1}{\rho}\nabla p-\nabla\Psi$$ (3.51)

$$\Delta\Psi = 4\pi G\rho$$ (3.52)

である。