連続の式

まず、連続の式(質量保存の式)をLagrange的に考える。体積$\d V$の流体素片の 質量は$\d m=\rho\d V$であるが、これが保存するので

$$\frac{\d m}{\d t}=0$$ (3.29)

である。分解すると、

$$\frac{\d }{\d t}\left(\rho\d V\right)=\d V\frac{\d\rho}{\d t}+\rho\frac{\d\d V}{\d t}=0$$ (3.30)

$$\frac{\d\rho}{\d t}+\frac{\rho}{\d V}\frac{\d\d V}{\d t}=0$$ (3.31)

となる。ここで簡単のため左右にのびた一次元系を考えると、第二項は流体素片の体積の時間 変化であり、それはこの流体素片の右側の端の速度-左側の端の速度、$\d\v$で与えられ る。即ち、

$$\frac{\d\d V}{\d t}=\d v$$ (3.32)

これを用いると、

$$\frac{\d\rho}{\d t}+\rho\frac{\d\v }{\d V}= \frac{\d\rho}{\d t}+\rho\nabla\cdot\v =0$$ (3.33)

となる。

次にEuler的に見てみよう。

一辺が$\Delta L$の固定された微小な立方体を考える( $\Delta V=\Delta L^3$、 $\Delta$は空間的に固定された微小量を示すものとする)。この立方体内 の物質の増減を調べよう。この立方体の質量の増減は、立方体への流入・流出に よるので(湧き出し・吸い込みはない)、質量の変化

$$\Delta m = \Delta (\rho\Delta V) = \Delta V\Delta\rho$$ (3.34)

がゼロでないとすると、必然的に流れがあることになる。ここで体積$\Delta V$ は一定であることを使った。

次に、流れがあるとき、この立方体に流れ込む・流れ出す物質の量を求めよう。 簡単のため、流れの方向は$x$軸方向であるとする。 速度$v$で物質が流れているとき、時間$\Delta t$の間に入ってくる物質の 量、出ていく物質の量の差は、

$$\rho(x) v(x) S \Delta t -\rho(x+\Delta L) v(x+\Delta L) S \Delta t$$ (3.35)

となる。ここで立方体の面積 $S=(\Delta L)^2$である。ここで質量流束 $j\equiv\rho v$を定義すると、上式は

$$j(x) S \Delta t - j(x+\Delta L) S \Delta t = [j(x)-j(x+\Del... ...Delta L S\Delta t = -\frac{\partial j(x)}{\partial x}V\Delta t$$ (3.36)

と変形できる。ここで Taylor 展開を使った。

さて、式(3.6)、(3.8)は等しいはずであるから、

$$V\Delta\rho = -\frac{\partial j(x)}{\partial x}V\Delta t$$ (3.37)

である。両辺$V\Delta t$で割ると、

$$\frac{\Delta\rho}{\Delta t} = -\frac{\partial j(x)}{\partial x}$$ (3.38)

となるが、左辺は空間を固定し、時間だけを変化させた場合の質量の変化に相当 するので、$\Delta t\to 0$の極限では、これは時間の偏微分を意味する。従っ て、

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} +\frac{\partial j(x)}{\partial x}=0$$ (3.39)

となる。

いままでは、流れは$x$方向だけと仮定していたが、一般化するとベクトルで書 くことができ、

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho{\bf v})=0$$ (3.40)

と書ける。ここで

$$\nabla\equiv {\hat{{\mbox{\boldmath$x$}}}}\frac{\partial}{\... ...ial y}+{\hat{\mbox{\boldmath$z$}}}}\frac{\partial}{\partial z}$$ (3.41)

である。 $\hat{{\mbox{\boldmath$x$}}}$などは単位ベクトルである。

さて、Lagrange形式とEuler形式のそれぞれを見比べてみると、Lagrange微分は 以下の関係があることがわかる。

$$\frac{\d\rho}{\d t}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\v\nabla\rho$$ (3.42)

本当にこれが成り立っているかを考えよう。簡単のために、また一次元系で考え る。Lagrange微分の中身を考えてみると、

$$\frac{\d\rho}{\d t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\rho(x+\Delta... ...to 0}\frac{\rho(x+v\Delta t, t+\Delta t)-\rho(x,t)}{\Delta t}$$ (3.43)

ここで

$$\rho(x+v\Delta t, t+\Delta t)\simeq\rho(x,t)+\frac{\partial... ...{\partial t}\Delta t+v\frac{\partial\rho}{\partial x}\Delta t$$ (3.44)

であるので、結局

$$\frac{\d\rho}{\d t}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\v\cdot\nabla\rho$$ (3.45)

となり、実際に成り立っていることがわかる。