一様等方宇宙を記述する方程式

通常、宇宙は一様・等方と仮定される(宇宙原理)。いま、宇宙項$\Lambda$ を含む Einstein方程式

$$R_{\mu\nu}-\frac{R}{2}g_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^{4}}T_{\mu\nu}$$ (2.1)

を考える。ここで$g_{\mu\nu}$はメトリック、$R_{\mu\nu}, R$はそれぞれリッ チテンソル及びリッチスカラー、$T_{\mu\nu}$はエネルギー運動量テンソルであ る。ここで一様等方を示す Robertson-Walker metric

$$ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+a^{2}(t)\left[\frac{dx^{2}}{\sqrt{1-Kx^{2}}}+x^{2}d\Omega^{2}\right]$$ (2.2)

を代入する($K$は曲率、$a$は scale factor を表わす)。ここで $x$は共動座標 で、物理的な距離は $r=a(t)x$ となる。以下、現在($t=t_{0}$)の時に $a(t_{0})=1$となるように正規化する。赤方偏移$z$とは$a=1/(1+z)$の関係で結 ばれる。さて、ここから独立な式として、

$$H^{2}\equiv\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^{2}=\frac{8\pi G}{3c^{2}}\epsilon-\frac{Kc^{2}}{a^{2}}+\frac{\Lambda c^{2}}{3}$$ (2.3)

及び

$$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3c^{2}}(\epsilon+3p)+\frac{\Lambda c^{2}}{3}$$ (2.4)

を得る(Friedmann 方程式)。ここで$\epsilon, p$はそれぞれエネルギー密度と 圧力である。また、$H$は Hubble parameter であり、屡々

$$H\equiv 100h  {\rm km/s/Mpc}$$ (2.5)

と無次元量 $h$で表わす(最近の観測は$h\simeq0.7$を示唆)。今回は recombination 以降のみを扱うので、考えている物質はいわゆるダスト近似が可 能であり、$p=0$と置く(dark matter は圧力を感じない)。また密度 $\rho\equiv\epsilon/c^2$を定義しておく。

さて、平坦($K=0$)で宇宙項なしの場合(Einstein-de Sitter宇宙)、

$$H^{2}=\frac{8\pi G}{3}\rho$$ (2.6)

となる。この時の密度を臨界密度$\rho_{c}$と定義すると、

$$\rho_c\equiv\frac{3H^2}{8\pi G}\rho$$ (2.7)

となる。

ここで、参考までに$H$以外の宇宙論パラメータをまとめておく。

$$\Omega\equiv{\rho}/{\rho_{c}}$$ (2.8)

$$k\equiv{K}/{H^{2}a^{2}}$$ (2.9)

$$\Omega_{\Lambda}\equiv{\Lambda}/{3H^{2}}$$ (2.10)

$$q\equiv-{\ddot{a}a}/{\dot{a}^{2}}$$ (2.11)

と定義される。これらを用いると、Friedmann 方程式は

$$\Omega-k+\Omega_{\Lambda}=1$$ (2.12)

$$q=\frac{1}{2}\left(1+3\frac{p}{\epsilon}\right)\Omega-\Omega_{\Lambda}$$ (2.13)

となる。現在の値の宇宙論パラメータを用いると、一つめの式は

$$\frac{H^{2}}{H_{0}^{2}}=\frac{\Omega_{0}}{a^{3}}-\frac{k_{0}}{a^{2}}+\Omega_{\Lambda}$$ (2.14)

となる(radiationが無視できる場合; $\rho\propto a^{-3}$)。