Friedmann方程式の意味

ここで式(2.3)を$t$で微分し、出てきた$\ddot{a}$に式 (2.4)を代入すると、

$$\frac{d}{dt}\epsilon a^{3}+p\frac{d}{dt}a^{3}=0$$ (2.15)

が得られる。体積を $V=a^{3}$とし、内部エネルギーを$U=\epsilon V$とすれば、 これは即ち

$$dU+pdV=0$$ (2.16)

となり、断熱膨張となっていることがわかる。実際には内部の物質の反応 により宇宙のエントロピーは増えているが、宇宙膨張自体は断熱変化である。

次に、式(2.3)を変形すると、

$$\frac{1}{2}\dot{a}^{2}+V(a)=E\equiv-\frac{Kc^{2}}{2}$$ (2.17)

$$V(a)=-\frac{GM}{a}-\frac{\Lambda c^{2}a^{2}}{6}$$ (2.18)

となる(ここで $M=4\pi G\rho_0 a^{3}/3, \rho_{0}=\epsilon/c^{2}$)。これは、 位置座標を$a$とした場合の、potential $V(a)$ 中での一次元の運動として解釈 できることを示している。FIG.1に、宇宙論パラメータを変 えた場合の定性的振舞いを示す。上の図において、現在の膨張率($H_{0}$)は観 測より決まる量であるので、全てのモデルに対し fix されるが、宇宙年齢はパ ラメータによって変化することがわかる。また特徴的な振舞いとして、宇宙項が 存在する場合は過去のある時期に potential の「頂上」付近を通るため(下図) 膨張が非常に遅くなる時期があり、宇宙年齢が伸びることになる。

Figure 1:

Figure 2:

Figure 3: