ピーク仮説

最後に、ハローは密度揺らぎの「ピーク」を中心にcollapseする、という仮説に ついて考えてみよう[1,12]。

「ピーク」は空間分布に対するものなので、「ピーク」である条件としては、

1. $\delta$の空間微分が0: $\partial_i\delta=0$
2. $\delta$が上に凸、即ち二階微分の固有値がすべて負

である。collapseするということから $\delta=\delta_c$という条件も考慮する と、成分としては0階微分が1個、1階微分が3個、2階微分が6個で計10個の成分を 考慮しなければならない。それに加えて$M_1$場で $\delta_1\geq\delta_c$であ る確率を求めるのであるから、11変数のGauss分布を解く必要がある。

その振舞いはややこしいので結果については割愛するが、残された課題としては、 top-hat filter での peak formalism をどう構築するか、ということが挙げら れよう。peak formalism では揺らぎの空間微分が重要な役割を果たすが、 top-hat filter は密度場を滑らかにしないため、微分(の分散)が発散する。 滑らかな filter を使い、最終的に limit を取って不連続な top-hat filter にする、などの工夫が必要になろう。

Figure 12: