重力レンズ像間の時間変動の差

強い重力レンズは複数の像を生む。ソース天体が時間変動していると、像間の光 路差により、各像の変動には時間差が生じる。この時間差と、像間の角度差、赤 方偏移から、以下のようにしてH₀を求めることができる。

  

Figure 2:

FIG.2に従って、質量MのレンズLによる曲がり角$\theta$は (point mass と仮定)、

$$\theta=\frac{4GM}{Rc^2}=2\frac{R_{\rm g}}{R}$$ (9)

と書ける。ここで$R_{\rm g}$はSchwartzschild 半径である。 $\alpha, \beta \ll 1$と近似すると、光路差 $\Delta D=D_{\rm S'O}-D_{\rm SO}$は

$$\Delta t\equiv\frac{\Delta D}{c}=\frac{\theta^2}{2H_0}\frac{z_{\rm L}}{z_{\rm S}}(z_{\rm S}-z_{\rm L})$$ (10)

と書けることがわかる。ここで、 $z_{\rm S}, z_{\rm L}$はそれぞれソース天体、 レンズの赤方偏移であり、観測可能量である。従って、あとは像の位置$\theta$ を観測し、像の時間変動をモニターして時間差$\Delta t$を求めれば、H₀が わかる。幸いにして、時間差は年のオーダーである。この方法を用いて $H_0=64\pm13$km s^-1 Mpc^-1という値が報告されている[6]。